Bien le bonjour à tous mes inconditionnels lecteurs dont mon absence teste
la patience jour après jour,
Je passe par ici pour vous parler d'une matière qui me suis depuis
maintenant trois bonnes années. Pour toutes les personnes qui penseraient que
je vais écrire un article entier sur le cachemire (matière préférée de Sophie
Marceau dans Lol), je tiens à préciser que ce billet évoquera une matière
scolaire... Et cette matière porte un nom (qui fait peur a première vue, je
vous l'assure) : l'Analyse Numérique. Cela vous permettra, à vous peuple
étranger des mathématiques, d'avoir un aperçu sur ce qui se fait au bout de
quatre ans d'études dans les mathématiques...
Pour vous la présenter en quelques mots, l'Analyse Numérique, c'est l'art de
d'approcher des valeurs mathématiques incalculables de la meilleure façon
numérique possible, c'est-à-dire avec une erreur la plus minime possible.
Ainsi, en vulgarisant beaucoup le discours, l'Analyse Numérique est le
Terminator des maths : aucune expression mathématique ne lui résiste.
Venons-en donc au sujet de ce billet... Cette année, dans ma très
grande classe (de cinq étudiants), nous devons rédiger des projets assez
poussés dans cette matière. Celui d'une amie consiste (entre autres) à
approcher une fonction incalculable sur un intervalle. Public sensible, fermez
les yeux, je présente maintenant ladite fonction :
Il s'avère que tout mathématicien, même en passant des jours à étudier cette
fonction, ne parviendrait pas à calculer de manière exacte les valeurs exactes
de cette fonction. De la même façon, auriez-vous pensé que dessiner cette
fonction sur l'intervalle [0,25] (pour T=1) puisse être possible sans que la
fonction ne soit calculable ? Et si l'on parvient à tracer cette courbe de
manière approchée, apparaitra-t-elle continue ou non ? Voila deux
questions sans réponses...
Et bien, 1h30 de programmation et de fous-rires plus tard, la réponse aux
deux questions est oui comme en témoigne le graphe dessiné
ci-dessous :
Et c'est à cet instant que vous me demandez : Mais comment cela est-ce
donc possible ?! Pour vous représenter (de façon imagée) le caractère
impressionnant de la chose, parvenir à cela en mathématiques c'est comme si
vous étiez capable de dessiner l'allure d'un meuble avant qu'il ne soit monté
en ne disposant que des divers éléments (sans la notice de montage). Facile
avec une table basique, mais très complexe pour un meuble sophistiqué made in
Ikea. En mathématiques, c'est identique et la fonction ci-dessus est aussi peau
de vache que le meuble Ikea.
Sauf que, contrairement à ce dernier, on est capable avec les outils
d'Analyse Numérique, d'approcher la fonction récalcitrante de façon très
réaliste. Comment faisons-nous ? Une intégrale (le symbole étrange au
début de la fonction) est un calcul d'aire sous la courbe. On peut l'approcher
en découpant l'intervalle en sous-intervalles beaucoup plus petits et en
approchant l'aire de la courbe sur ces sous-intervalles.
Par exemple, on peut utiliser la méthode dite des rectangle à gauche qui
approche l'aire sous la courbe de la façon suivante :
On voit bien que plus les sous-intervalles (i.e. la largeur des rectangles)
seront petits, plus les rectangles vont venir se coller à la courbe. Donc plus
il y aura de sous-intervalles, plus l'intégrale sera mieux approchée...
Ainsi, avec cette méthode (ou d'autres plus compliquées mais plus
performantes), on est capable d'approcher la valeur de la fonction en un point
donné. Il ne reste donc plus qu'à calculer la valeur approchée de l'intégrale
sur le nombre de points que l'on souhaite de [0,25] et à demander un graphe de
ces points à l'ordinateur. Si le nombre de points est assez élevé, la magie de
l'informatique opère et l'ordinateur vous sort une courbe continue approchant
votre fonction incalculable...
Si c'est pas formidable ça...
PS : Désolé pour ceux qui n'auront rien compris à ce billet...
PS2 : Si des savant-fous passent par là, et qu'il parviennent à
primitiver l'intégrale récalcitrante, qu'ils se fassent connaître car cela
intéressera mon amie... 
Bon courage... ...
Nota Bene : Je m'excuse auprès des mathématiciens puristes pour
l'exemple du meuble Ikea. Je n'ai pas trouvé d'autres situations communes pour
vulgariser cette réflexion mathématique. Mais je reste ouvert à toutes les
propositions. Tout comme les lecteurs j'imagine...
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